O Negocio é o Seguinte...: Teoria da Resposta ao Item

A modelagem mais moderna para a Teoria da Resposta ao Item utiliza a Estatística Bayesiana. Nessa modelagem, a probabilidade de acerto de um item é condicionada à habilidade e conhecimento do examinando. A curva que modela a probabilidade de acerto de um item é uma função crescente na ordenada da habilidade e conhecimento; o gráfico que tem a probabilidade condicional de acerto de um item na ordenada e a habilidade e conhecimento na abscissa é conhecido como Curva Característica do Item.

Curva Característica do Item - Teoria da Resposta ao Item

Na abordagem bayesiana da Teoria da Resposta ao Item costuma-se representar a habilidade e conhecimento por uma variável aleatória simbolizada pela letra grega ${\theta}$ ; a variável aleatória que representa o acerto ou erro de um item ´s simbolizada pela letra $X$ ; o resultado (acerto ou erro) de um item respondido é representado por $X = x$ , onde $X = 1$ normalmente representa o acerto do item e $X = 0$ representa o erro. O gráfico da Curva Característica do Item acima é portanto um gráfico que associa a probabilidade de acerto $P(X = 1 | {\theta})$ em função de ${\theta}$ . Adicionalmente costuma-se utilizar o índice $i$ para indicar um examinando específico ( ${\theta}_i$ representa a habilidade e conhecimento do examinando $i$ ) e o índice $j$ para indicar um item específico ( $X_j$ representa os possíveis resultados do item $j$ e $X_{ij} = x_{ij}$ representa a resposta do examinando $i$ ao item $j$ ).

Existe uma gama extensa de modelos da Teoria da Resposta ao Item: os modelos mais complexos podem considerar uma multidimensionalidade da habilidade e conhecimento onde a variável teta que a representa é um vetor multidimensional ${\theta} = ({\theta}_1, {\theta}_2, ..., {\theta}_k)$ como também considerar a abordagem de créditos parciais para acomodar itens com estágios hierárquicos de desenvolvimento, por exemplo: primeiro estágio se nada está correto na resolução do item ( $X_j = 0_j$ ). segundo estágio se o item foi corretamente esquematizou o problema corretamente ( $X_j = 1_j$ ); terceiro estágio se o desenvolvimento do raciocínio está correto ( $X_j = 2_j$ ) e; quarto estágio se o item foi respondido corretamente na íntegra ( $X_j = 3_j$ ). O modelo de créditos parciais, embora pouco utilizado, é adequado para questões discursivas.

O modelo mais simples e usual da Teoria da Resposta ao Item considera itens dicotômicos (onde os possíveis resultados são acerto ou erro) e uma função logística para modelar a Curva Característica do Item:

$P(X_j = 1 | {\theta}) = c_j + {{1 - c_j} \over {1 + e^{-D \cdot a_j \cdot ({\theta} - b_j)}}}$

Na modelagem bayesiana da Teoria da Resposta ao Item, conforme citado no início, diz-se que as respostas $X_i = (x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}, ... x_{iJ})$ onde $J$ é o número de itens respondidos pelo examinando $i$ estão correlacionadas através da habilidade e conhecimento ${\theta}_i$ do examinando. Se ${\theta}_i$ fosse conhecido, as respostas $x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}, ... x_{iJ}$ seriam independentes estatisticamente. Essa abordagem costuma suscitar algumas confusões pois para o cálculo daverossimilhança utilizaremos o fato de que $X_{i1} | {\theta}$ , $X_{i2} | {\theta}$ , ..., $X_{iJ} | {\theta}$ são independentes estatisticamente, ao passo que $X_{i1}$ , $X_{i2}$ , ..., $X_{iJ}$ são estatisticamente dependentes. Essa propriedade é conhecida como independência condicional e pode ser estudada em mais detalhes em artigo de De Finetti, B; por ora consideremos que se soubéssemos o verdadeiro valor da habilidade e conhecimento de um examinando as suas respostas a um conjunto de itens seriam estatisticamente independentes pois já saberíamos sua habilidade. Dessa forma, submetê-lo a um conjunto de itens seria inútil: os acertos e erros aos itens seriam meramente aleatórios. Para que a Teoria da Resposta ao Item seja aplicável é necessário pressupor que a habilidade e conhecimento de um examimando seja conhecido através de uma incerteza, representada por uma distribuição de probabilidade, e que os acertos e erros de um examinando numa prova revelem informações sobre seus conhecimentos e habilidades.

Considerando a propriedade da independência condicional dos acertos e erros dos itens respondidos por um examinando, a verossimilhança gerada pelas respostas de um examinando é dada por:

$L({\theta} | X_i = x_i) = \prod_{j=1}^{J} {P(X_{ij} = x_{ij} | {\theta})}$

Após o examinando responder um conjunto de itens a estimativa da habilidade e conhecimento pode ser facilmente calculada através do Operador de Bayes:

$P({\theta}_i | X_i = x_i) = {{L({\theta} | X_i = x_i) \cdot P({\theta}_i)} \over {\int {L({\theta} | X_i = x_i) \cdot P({\theta}_i) \cdot dP({\theta_i})}}}$

Onde $P({\theta}_i)$ é a distribuição de probabilidade a priori para a habilidade e conhecimento do examinando $i$ , : $L({\theta} | X_i = x_i)$ é a verossimilhança gerada pelas respostas aos itens e $P({\theta}_i | X_i = x_i)$ é a distribuição de probabilidade a posteriori para o mesmo examinando ao responder os itens $X_i = (x_i1, x_i2, ..., x_iJ)$ .

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_da_resposta_ao_item

O Negocio é o Seguinte...

terça-feira, 5 de novembro de 2013

Teoria da Resposta ao Item - Cáculo da Nota do ENEM

Nenhum comentário :

Postar um comentário